NuCypher 是一個滿久的項目了，最主要的目標是為隱私保護的應用提供基礎設施，包含了 Secret Management、Dynamic Access Control 與 Secure Computation。其中會用到的代理重加密這個功能，這篇文章將介紹 NuCypher 使用的代理重加密方法，他們命名為 Umbral，在西班牙文中這是 Threshold 的意思。
簡介代理重加密與 Umbral
Umbral 是一個門檻式代理重加密方法，首先我們需要先了解重加密是什麼。在現代生活中，雲端硬碟大概是絕大多數人都會使用到的服務，也經常會拿來做文件分享等等。而若今天我們需要提供一個文件給朋友，我們通常會上傳並建立一個連結，但更機密的資料我們可能就需要先加密再上傳，以保證服務商無法竊取或流出這個資料。然而加密之後，如果想要提供給另外一個人但不同密碼，我們就需要建立許多份副本。代理重加密則將這個過程交給雲端服務商，我們將一份加密的檔案上傳後，這些服務商透過重加密來產生對不同人的加密副本，就可以使我們避免重複加密。
在上面的流程中，我們可以分成三個角色：
- 加密方（Delegator）
- 解密方（Delegatee）
- 服務方（Proxy）
加密方會提供一個重加密密鑰 rk 給服務方，服務方可以拿著加密方產生的密文 c_a 和這把 rk 去重新加密成給別人的密文 c_b，這套流程就稱作代理重加密。
代理重加密上有三個屬性：
- Directionality：如果服務方只能利用
rk將c_a轉換成c_b，稱為 unidirectional，如果可以反過來則稱為 bidirectional。在代理重加密上，我們會希望他是 unidirectional 的，以避免解密方在使用他的密鑰產生密文後，被服務方與加密方共謀而洩漏其中的明文。 - Number of Hops：如果服務方對於
c_a，在具備不同rk下（例如給 Bob 和 Charlie 的）可以分別產生對應的c_?則稱為 multi-hop/multi-use，否則稱為 single-hop/single-use。 - Interactivity：如果解密方的密鑰不需參與重加密密鑰的產生流程，則稱為 non-interactive，否則為 interactive。
對於這三個屬性，Umbral 是 unidirectional、multi-hop、non-interactive 的，此外，他也引入了非互動式零知識證明來提供重加密的可驗證性。
而 Umbral 的另一個特點，就是他是門檻式（Threshold）的，在前面的的簡介中只有一個 Proxy，一旦這個 Proxy 故障，那加密方與解密方就無法完成傳遞，因此透過 Threshold 的設計，例如可以建立一個 t of N 的代理重加密會話，只要 N 個 Proxy 有 t 個正常運作就可以確保傳遞順暢。
KEM/DEM Approach
Umbral 參考了美國國家標準協會提出的 ECIES-KEM，用到了稱為 KEM/DEM Approach 的方法。KEM/DEM Approach 是一種混合加密方式，透過混合非對稱與對稱加密，來提供足夠的安全性與加解密效率（非對稱的加解密通常較為耗能）。KEM Key Encapsulate Mechanism 會先產生一個對稱加密的密鑰，再透過 DEM Data Encapsulate Mechanism 則將傳遞的資料加密。 
Shamir’s Secret Sharing
Umbral 中的 Threshold 特性透過 Shamir’s Secret Sharing 的方式來達成。Kimi 老師有一篇文在說這個，這邊就不展開了。
Implementation
https://github.com/nucypher/pyUmbral
Umbral 如何運作
這邊的 Alice 是上面的 Delegator，Bob 是 Delegatee。首先 Alice 會透過 Encapsulate 去產生對稱密鑰 K 和 Capsule，這個 Capsule 包含了讓 Bob 拿到 K 的資訊。接著 Alice 會對 Bob 產生 N 個 kFrag 並發送給 Proxy 們，Proxy 拿著 Capsule 和 kFrag 就可以產生 cFrag 並發送給 Bob，Bob 拿到 t 個 cFrag 就可以用自己的密鑰重組並解密出 K。
產生公開參數
首先會先產生一組 Parameter： 
其中 G 是一個 order 為質數 q 的循環群，g 和 U 則是